Matematik ve geometri derslerini pek çoğumuz en son lise yıllarında görmüş olsak bile aslında farkında olmadan günlük hayatta devamlı karşılaşıyoruz. Esasen mühendislik üzere birçok iş alanında geometrik haller faal olarak kullanılıyor. Bunlardan bir tanesi de küre. Küre, dışarıdan bakıldığı vakit kolay bir yuvarlak üzere görünen ancak kusursuz simetriye sahip en kıymetli geometrik hallerden bir adedidir.
Kürenin hacmi, alanı ve gibisi ölçüleri bulmak pek kolay olmadığı için kullanmanız gereken özel bir formülü var. Bu formülü bildikten sonra gerekli değişkenleri yerlerine yerleştirerek birkaç kolay süreç ile kürenin hacmini bulmanız mümkün. Elbette daha karışık süreçlerde kürenin hacmi sadece tahlilin birinci adımı olabilir. Gelin kürenin hacmi nasıl bulunur sorusuna yakından bakalım ve bu hesaplama süreci için kullanmanız gereken formülü görelim.
Hiç bilmeyenler için, küre nedir?
Küre, simetrik olarak kusursuz olarak tanımlanan geometrik bir haldir. Tıpkı vakitte bir yüzey olan küre, üç boyutlu öklit uzayda bulunmaktadır. Günlük hayatta tıpkı olduğunu düşünsek de aslında matematik ve geometride içi dolu ve içi boş küre farklı halde kıymetlendirilir. İçi dolu küre yuvar olarak isimlendirilir. Yuvar üç boyutluyken içi boş küre iki boyutludur. Bir boyutlu küre ise çemberdir.
Kürenin hacmini hesaplama süreci için kullanmanız gereken özel formülü:
Birazdan örnek üzerinden açıklarken ayrıntılarına geçeceğiz fakat öncelikle kürenin hacmi nasıl ölçülür sorusunun en temel cevabı olan, bu süreç için kullanmanız gereken formülü yazalım. Kürenin hacim hesaplama formülü V = ⁴⁄₃πr³ formundadır. Bu formülü çabucak bir yere not edin ve kağıt kalem hazırsa çabucak örneğimizi incelemeye başlayın.
Kürenin hacmi nasıl hesaplanır? Bir örnek üzerinden anlatalım:
- Adım #1: Kürenin hacim hesaplama formülünü bir köşeye yazın.
- Adım #2: Öncelikle yarıçapı bulun ve formüldeki yerine yazın.
- Adım #3: Yarıçapın küpünü bulun ve formüldeki yerine yazın.
- Adım #4: Küpünü aldığınız yarıçapı formüldeki kıymetle çarpın.
- Adım #5: Son olarak elde ettiğiniz kıymeti pi sayısı ile çarpın.
Adım #1: Kürenin hacim hesaplama formülünü bir köşeye yazın:
Yukarıda bahsettiğimiz üzere kürenin hacim hesaplama formülü V = ⁴⁄₃πr³ formundadır. Eğer usta bir matematikçi değilseniz ve tüm süreçleri aklınızdan yapmayacaksanız birinci olarak bu formülü bir köşeye yazmanız gerekir. Aslında sonraki adımları, V = ⁴⁄₃πr³ formülü üzerinde uygulamanız gerekecek. Formülde V kürenin hacmini, r ise kürenin yarıçapını söz etmektedir.
Adım #2: Öncelikle yarıçapı bulun ve formüldeki yerine yazın:
Kürenin hacmini hesaplamak için öncelikle kürenin yarıçapını yani r bedelini bulmak gerekiyor. Bazı sorularda kürenin yarıçapı direkt olarak verilebilir. Böyle bir durum varsa bir sonraki adıma geçebilirsiniz. Şayet kürenin yarıçapı verilmediyse yapmanız gereken kürenin çapını ikiye bölmektir. Bu örneğimiz için kürenin yarıçapını 1 cm olarak alalım.
Bu noktada bir parantez açalım. Birtakım sorularda çap ya da yarıçap yerine kürenin yüzey alanı verilir. Böyle bir durumda kaygıya kapılmayın ve şu formülü uygulayarak kürenin yarıçapını bulun; r = karekök ( yüzey alanı / 4π )
Adım #3: Yarıçapın küpünü bulun ve formüldeki yerine yazın:
Kürenin yarıçapını bulduğumuza nazaran sürece devam etmek için kürenin yarıçapının küpünü almamız gerekiyor. r³ halinde gösterilen bu kıymet r x r x r biçiminde bulunabilir. Örneğimizdeki yarıçap 1 olduğu için 1 x 1 x 1 = 1 yani r³ = 1. Bu pahası formüldeki yerine yazınca şöyle bir tablo çıkıyor; V = ⁴⁄₃π x 1
Bu örnekte kolay anlaşılması için kürenin yarıçapını 1 olarak vermemiz baş karıştırıcı olmasın. Kürenin yarıçapının 2 olduğu durumda 2 x 2 x 2 = 8 yani r³ = 8 formunda bir sonuç çıkar. Kimi büyük sayılarda sonuç da büyük olabilir lakin her vakit cm cinsinden yazmayı ihmal etmeyin.
Adım #4: Küpünü aldığınız yarıçapı formüldeki pahayla çarpın:
Kürenin yarıçapının küp bedelini 1 olarak bulduktan sonra formüldeki yerine yazınca V = ⁴⁄₃π x 1 formunda bir sürece dönüştü. Bu noktada yapmanız gereken birinci süreç r³ yani 1 ile 4/3 bedelini çarpmaktır. 4/3 x 1 = 4/3. Formüldeki yerine koyduğumuz vakit karşımıza V = ⁴⁄₃π biçiminde bir tablo çıkıyor.
Adım #5: Son olarak elde ettiğiniz pahası pi sayısı ile çarpın:
Kürenin yarıçapını bulduk, küpünü hesapladık ve formülde olduğu üzere 4/3 bedeli ile çarptık. Artık sıra geldi V = ⁴⁄₃π formülde olduğu üzere son adım olan pi sayısı ile çarpmaya. Bu tıp süreçlerde pi sayısı, aksi söylenmediği sürece 3,14 olarak formüle dahil edilir. Yani V = ( 3,14 ) x 4/3 bu da V = 4,19 oluyor. Tüm bu süreçleri kübik üniteler olarak belirlediğimiz için kürenin hacmi yani V = 4,19 cm3
Kürenin hacmini hesaplarken dikkat etmeniz gerekenler:
- Formülün üzerinde süreç yaptığınız tüm ünitelerin birebir olduğundan emin olun. Yani tüm sayıları metre ya da santimetre cinsinden kullanın.
- Küre öklit uzayda bulunan bir form olduğu için tüm üniteler m³ formunda kübik olmalı.
- Eğer süreçte sizden küre hacminin yarısı ya da çeyreği isteniyorsa tekrar de birinci olarak tüm hacmi bulun ve daha sonra bunu bedelin yarısı için ½, çeyreği için ¼ ile çarpın.
Küre süreçlerinde kullanabileceğiniz öteki formüllerden kimileri:
- Kürenin projeksiyon alanı: APF = 4/3πr²
- Kürenin kesim hacmi: VKS = h²π / 3 ( 3r – h )
- Kürenin atalet momenti: J = 2 / 5 x mr²
- Kürenin yüzey alanı: A = 4πr² = d²π
Matematik ve geometride karşımıza çıkan kusursuz simetriye sahip kürenin hacmi nasıl hesaplanır sorusunu yanıtlayarak hesaplama süreci için kullanabileceğiniz formülü paylaştık. Elbette küre son derece karmaşık bir husus lakin bu yazımızda hiç bilmeyenler için genel bir bilgilendirme yapmayı hedefledik.
